Các bài toán về hàm số học
LaTeX in HTML Bài toán (VMO 2023-2024) Với mỗi số nguyên dương \( n \), gọi \( \tau(n) \) là số các ước nguyên dương của \( n \). a) Giải phương trình nghiệm nguyên dương \[ \tau(n) + 2023 = n \] với \( n \) là ẩn số. b) Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương \( k \) sao cho có đúng hai số nguyên dương \( n \) thỏa mãn phương trình \[ \tau(kn) + 2023 = n. \] Bài toán (VMO 2021-2022) Với mỗi cặp số nguyên dương \( n, m \) thoả mãn \( n i) \[ \frac{s(n, m)}{m - n} \geq \frac{s(1, m)}{m} \quad \text{với mọi } n = 1, 2, \ldots, m - 1; \] ii) \[ 2022^m + 1 \quad \text{chia hết cho } m^2. \] Bài toán (VMO 2020-2021) Với số nguyên \( n \geq 2 \), gọi \( s(n) \) là tổng các số nguyên dương không vượt quá \( n \) và không nguyên tố cùng nhau với \( n \). a) Chứng minh \[ s(n) = \frac{n}{2} (n + 1 - \varphi(n)), \] trong đó \( ...