Bài đăng

Đang hiển thị bài đăng từ Tháng 1, 2025

Các bài toán về hàm số học

LaTeX in HTML Bài toán (VMO 2023-2024) Với mỗi số nguyên dương \( n \), gọi \( \tau(n) \) là số các ước nguyên dương của \( n \). a) Giải phương trình nghiệm nguyên dương \[ \tau(n) + 2023 = n \] với \( n \) là ẩn số. b) Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương \( k \) sao cho có đúng hai số nguyên dương \( n \) thỏa mãn phương trình \[ \tau(kn) + 2023 = n. \] Bài toán (VMO 2021-2022) Với mỗi cặp số nguyên dương \( n, m \) thoả mãn \( n i) \[ \frac{s(n, m)}{m - n} \geq \frac{s(1, m)}{m} \quad \text{với mọi } n = 1, 2, \ldots, m - 1; \] ii) \[ 2022^m + 1 \quad \text{chia hết cho } m^2. \] Bài toán (VMO 2020-2021) Với số nguyên \( n \geq 2 \), gọi \( s(n) \) là tổng các số nguyên dương không vượt quá \( n \) và không nguyên tố cùng nhau với \( n \). a) Chứng minh \[ s(n) = \frac{n}{2} (n + 1 - \varphi(n)), \] trong đó \( ...

Các bài toán về dãy số nguyên

LaTeX in HTML Bổ đề quan trọng (Biểu thức cổ định của dãy tuyến tính cấp hai) Cho dãy số \( (a_n) \) xác định bởi \[ a_{n+2} = aa_{n+1} - a_n +b\quad \forall n \in \mathbb{N}. \] Khi đó, biểu thức \( a_{n+1}^2 - a_n a_{n+2}-ba_{n+1} \) luôn nhận giá trị không đổi. Chứng minh. Thật vậy, ta có biến đổi sau \[ \begin{align} x_{n+1}^2 - x_n x_{n+2} - b x_{n+1} &= x_{n+1}(x_{n+1} - b) - x_n(a x_{n+1} - x_n + b) \\ &= x_{n+1}(a x_n - x_{n-1}) - x_n(a x_{n+1} - x_n + b) \\ &= x_n^2 - x_{n-1} x_{n+1} - b x_n \end{align} \] Đẳng thức trên đúng với mọi \( n \geq 0 \) nên \[ x_{n+1}^2 - x_n x_{n+2} - b x_{n+1} = x_1^2 - x_0 x_2 - b x_1 = \text{const.} \] Bổ đề quan trọng (Về sự tuần hoàn của các số dư) Cho dãy số nguyên \(\{x_n\}\) xác định bởi công thức truy hồi \[ x_{n+k} = a_1 x_{n+k-1} + \ldots + a_k x_n \] và \(k\) số hạng đầu tiên nguyên. Kh...