Blog Toán chuyên THPT

Bài toán (APMO 2015) Cho \( \triangle ABC \) là một tam giác, và điểm \( D \) nằm trên cạnh \( BC \). Một đường thẳng qua \( D \) cắt cạnh \( AB \) tại \( X \) và cắt cạnh \( AC \) tại \( Y \). Đường tròn ngoại tiếp của tam giác \( BXD \) cắt đường tròn ngoại tiếp của tam giác \( ABC \) tại điểm \( Z \) khác với điểm \( B \). Đường thẳng \( ZD \) và \( ZY \) cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác \( ABC \) tại \( V \) và \( W \) tương ứng. Chứng minh rằng \( AB = VW \). Bài toán (IMO Shortlist 2009) Cho tứ giác nội tiếp \(ABCD\), đường chéo \(AC\) và \(BD\) giao nhau tại \(E\), đường thẳng \(AD\) và \(BC\) giao nhau tại \(F\). Trung điểm của \(AB\) và \(CD\) lần lượt là \(G\) và \(H\). Chứng minh rằng đường thẳng \(EF\) tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp của tam giác \(EGH\). Bài toán (Thụy Sĩ TST 2006) Cho tam giác \(ABC\) là tam giác nhọn với \(AB \neq AC\). Điểm \(H\) là trực tâm của tam...

Bài toán: Cho tam giác \( ABC \), gọi \( H \) là trực tâm và \( G \) là trọng tâm. Trên tia đối của tia \( AH \), lấy một điểm \( X \) sao cho \( AX = BC \). Tương tự, định nghĩa các điểm \( Y \) và \( Z \). Gọi \( L \) là điểm Lemoine của tam giác \( ABC \). Chứng minh rằng đường thẳng qua \( X \) song song với \( GA \), đường thẳng qua \( Y \) song song với \( GB \), và đường thẳng qua \( Z \) song song với \( GC \) đồng quy tại một điểm nằm trên \( GL \).

Các bài báo Sách Sách

LaTeX in HTML Bài toán (VMO 2023-2024) Với mỗi số nguyên dương \( n \), gọi \( \tau(n) \) là số các ước nguyên dương của \( n \). a) Giải phương trình nghiệm nguyên dương \[ \tau(n) + 2023 = n \] với \( n \) là ẩn số. b) Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương \( k \) sao cho có đúng hai số nguyên dương \( n \) thỏa mãn phương trình \[ \tau(kn) + 2023 = n. \] Bài toán (VMO 2021-2022) Với mỗi cặp số nguyên dương \( n, m \) thoả mãn \( n i) \[ \frac{s(n, m)}{m - n} \geq \frac{s(1, m)}{m} \quad \text{với mọi } n = 1, 2, \ldots, m - 1; \] ii) \[ 2022^m + 1 \quad \text{chia hết cho } m^2. \] Bài toán (VMO 2020-2021) Với số nguyên \( n \geq 2 \), gọi \( s(n) \) là tổng các số nguyên dương không vượt quá \( n \) và không nguyên tố cùng nhau với \( n \). a) Chứng minh \[ s(n) = \frac{n}{2} (n + 1 - \varphi(n)), \] trong đó \( ...

LaTeX in HTML Bổ đề quan trọng (Biểu thức cổ định của dãy tuyến tính cấp hai) Cho dãy số \( (a_n) \) xác định bởi \[ a_{n+2} = aa_{n+1} - a_n +b\quad \forall n \in \mathbb{N}. \] Khi đó, biểu thức \( a_{n+1}^2 - a_n a_{n+2}-ba_{n+1} \) luôn nhận giá trị không đổi. Chứng minh. Thật vậy, ta có biến đổi sau \[ \begin{align} x_{n+1}^2 - x_n x_{n+2} - b x_{n+1} &= x_{n+1}(x_{n+1} - b) - x_n(a x_{n+1} - x_n + b) \\ &= x_{n+1}(a x_n - x_{n-1}) - x_n(a x_{n+1} - x_n + b) \\ &= x_n^2 - x_{n-1} x_{n+1} - b x_n \end{align} \] Đẳng thức trên đúng với mọi \( n \geq 0 \) nên \[ x_{n+1}^2 - x_n x_{n+2} - b x_{n+1} = x_1^2 - x_0 x_2 - b x_1 = \text{const.} \] Bổ đề quan trọng (Về sự tuần hoàn của các số dư) Cho dãy số nguyên \(\{x_n\}\) xác định bởi công thức truy hồi \[ x_{n+k} = a_1 x_{n+k-1} + \ldots + a_k x_n \] và \(k\) số hạng đầu tiên nguyên. Kh...