Các bài toán về mô hình trực tâm

Bài toán

Cho tam giác \( \triangle ABC \) nội tiếp đường tròn \( (O) \). \( M \) là trung điểm của \( BC \). \( H \) là trực tâm của tam giác \( ABC \). \(K\) là hình chiếu của \(H\) lên \(AM\). Gọi \( T \) là trực tâm của tam giác \( OBC \), và \( N \) là trung điểm của \( AH \).

a) Chứng minh rằng đường tròn \( (MKT) \) tiếp xúc với đường thẳng \( MN \).

b) Gọi \( X \) là giao điểm của \( BH \) và \( CT \), \( Y \) là giao điểm của \( CH \) và \( BT \). Gọi \( P, Q \) lần lượt là trung điểm của \( CX \) và \( BY \). Gọi \( R \) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác \( MKT \). Chứng minh rằng \( P, Q, R \) thẳng hàng.

Chứng minh

a)

Gọi \( E, F \) lần lượt là chân đường cao hạ từ \( B, C \) của tam giác \( ABC \). Ta có: \( A, H, E, F, K \) cùng thuộc đường tròn đường kính \( AH \).

Theo tính chất quen thuộc, ta có: \( MF \) tiếp xúc với đường tròn đường kính \( AH \) (có thể chứng minh bằng góc). Suy ra:

\[ MK \cdot MA = MF^2 = MB^2 = MC^2 = MB \cdot MC \]

Vì \( T \) là trực tâm tam giác \( OBC \) nên \( MT \cdot MO = MB \cdot MC \). Từ đó suy ra \( MK \cdot MA = MT \cdot MO \), suy ra tứ giác \( AKOT \) nội tiếp, suy ra:

\[ \angle MTK = \angle MAO \]

Ta có: \( OM = \frac{AH}{2} = AN \), suy ra \( ANMO \) là hình bình hành, suy ra \( AO \parallel MN \), suy ra \( \angle MAO = \angle AMN \).

Do đó, \( \angle MTK = \angle AMN \), suy ra \( MN \) tiếp xúc với \( (MKT) \) (đpcm).

b)

Bài toán

Cho tam giác \( \triangle ABC \) nội tiếp đường tròn \( (O) \). Các đường cao \( AD, BE, CF \) cắt nhau tại \( H \). Gọi \( M, N \) lần lượt là trung điểm của \( CA \) và \( AB \). Đường thẳng \( BE \) cắt \( DF \) tại \( P \), \( CF \) cắt \( DE \) tại \( Q \). Đường thẳng \( PQ \) cắt \( BC \) và \( MN \) lần lượt tại \( K \) và \( L \). Gọi \( X \) là trung điểm của \( KL \). Chứng minh rằng \( AX \perp OH \).

Bài toán

Cho đường tròn \( (O) \) và dây cung \( BC \) cố định, điểm \( A \) di động trên \( (O) \). Đường cao \( BE, CF \) cắt nhau tại \( H \). Trên tia \( FA, EA \) lấy \( M, N \) sao cho \( FM = CE, EN = BF \). Đường tròn \( (AMN) \) cắt đường tròn \( (AEF) \) tại \( G \).

a) Chứng minh rằng đường tròn \( (AMN) \) luôn đi qua một điểm cố định.

b) Chứng minh rằng đường thẳng \( HG \) luôn đi qua một điểm cố định.

Bài toán:

Cho tam giác \(ABC\) nội tiếp \((O)\), gọi \(H\) là trực tâm. \(AH\) cắt \(BO\) tại \(X\), \(BH\) cắt \(CO\) tại \(Y\), \(CH\) cắt \(AO\) tại \(Z\). Chứng minh rằng \(X,Y,Z,H\) cùng thuộc một đường tròn.

Nhận xét

Đăng nhận xét

Bài đăng phổ biến từ blog này

Căn nguyên thủy và ứng dụng

Giới thiệu Chúng ta đã thấy rằng với bất kỳ số nguyên dương \( n \) và bất kỳ số nguyên \( a \) nguyên tố cùng nhau với \( n \), cấp modulo \( n \) của \( a \) là ước của \( \varphi(n) \) và đặc biệt nó không thể vượt quá \( \varphi(n) \). Trong phần này, chúng ta quan tâm đến việc đặc trưng hóa những số \( n \) mà đạt được giới hạn này, tức là những số \( n \) mà tồn tại \( a \) sao cho \( \gcd(a,n) = 1 \) và \( \text{ord}_n(a) = \varphi(n) \). Hãy đặt tên cho những số \( a \) như vậy. Định nghĩa Cho \( n \) là một số nguyên dương. Một số nguyên \( a \) được gọi là căn nguyên thủy modulo \( n \) nếu \(\gcd(a, n) = 1\) và \(\operatorname{ord}_n(a) = \varphi(n)\). Ví dụ \(1\) là căn nguyên thủy mod \(2\), \(2\) là căn nguyên thủy mod \(3\), \(3\) là căn nguyên thủy mod \(4\), \(2\) và \(3\) là căn nguyên thủy mod \(5\), \(5\) là căn nguyên thủy mod \(6\), ... Tính chất Tính chất 1 Nếu \( a \) là một căn nguyên thủy modulo \( n \) và nếu \( b \equiv a \pmod{n} \), thì \( b ...
Đọc thêm

Tài liệu Olympiad

Website tài liệu Olympiad Sách số học Sách số học của Titu bản mới Sách số học của Titu bản cũ Sách hình học của Titu Sách tổ hợp của Trung Quốc Sách tổ hợp của Phạm Minh Phương Tài liệu thặng dư toàn phương Các chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán - Trần Nam Dũng Vành số nguyên Gauss và ứng dụng - Nguyễn Chu Gia Vượng Số học của hệ sô nhị thức - Nguyễn Chu Gia Vượng Cấp và căn nguyên thủy Tài liệu chuyên toán hình học 10
Đọc thêm

Các bài toán về hàm số học

LaTeX in HTML Bài toán (VMO 2023-2024) Với mỗi số nguyên dương \( n \), gọi \( \tau(n) \) là số các ước nguyên dương của \( n \). a) Giải phương trình nghiệm nguyên dương \[ \tau(n) + 2023 = n \] với \( n \) là ẩn số. b) Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương \( k \) sao cho có đúng hai số nguyên dương \( n \) thỏa mãn phương trình \[ \tau(kn) + 2023 = n. \] Bài toán (VMO 2021-2022) Với mỗi cặp số nguyên dương \( n, m \) thoả mãn \( n i) \[ \frac{s(n, m)}{m - n} \geq \frac{s(1, m)}{m} \quad \text{với mọi } n = 1, 2, \ldots, m - 1; \] ii) \[ 2022^m + 1 \quad \text{chia hết cho } m^2. \] Bài toán (VMO 2020-2021) Với số nguyên \( n \geq 2 \), gọi \( s(n) \) là tổng các số nguyên dương không vượt quá \( n \) và không nguyên tố cùng nhau với \( n \). a) Chứng minh \[ s(n) = \frac{n}{2} (n + 1 - \varphi(n)), \] trong đó \( ...
Đọc thêm