Các bài toán hình học từ IMO Shortlist

Bài toán

Cho tam giác nhọn \(ABC\) với đường tròn ngoại tiếp \((O)\). Một đường tròn \(\omega\) tiếp xúc trong với \((O)\) tại \(A\) và tiếp xúc với \(BC\) tại \(D\). Gọi \(AB\) và \(AC\) cắt \(\omega\) tại \(P\) và \(Q\) tương ứng. Gọi \(M\) và \(N\) là các điểm trên đường thẳng \(BC\) sao cho \(B\) là trung điểm của \(DM\) và \(C\) là trung điểm của \(DN\). Hai đường thẳng \(MP\) và \(NQ\) cắt nhau tại \(K\) và cắt \(\omega\) lần thứ hai tại \(I\) và \(J\). Tia \(KA\) cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác \(IJK\) lần thứ hai tại \(X \neq K\).

a) Chứng minh rằng tứ giác \(MNIJ\) nội tiếp và \(AK\) đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(MNIJ\).

b) Chứng minh rằng \(\angle BXP = \angle CXQ\).

Bài toán

Cho tam giác nhọn, không cân \(ABC\) có trực tâm \(H\). Gọi \(\ell_a\) là đường thẳng đi qua ảnh của \(B\) qua phép đối xứng qua \(CH\) và ảnh của \(C\) qua phép đối xứng qua \(BH\). Các đường thẳng \(\ell_b\) và \(\ell_c\) được định nghĩa tương tự. Giả sử ba đường thẳng \(\ell_a\), \(\ell_b\) và \(\ell_c\) tạo thành một tam giác \(\mathcal{T}\).

a) Chứng minh rằng \(\mathcal{T}\) đồng dạng với tam giác \(ABC\)

b) Chứng minh rằng trực tâm của \(\mathcal{T}\), tâm đường tròn ngoại tiếp của \(\mathcal{T}\), và \(H\) thẳng hàng.

Nhận xét

Đăng nhận xét

Bài đăng phổ biến từ blog này

Các bài toán về thặng dư toàn phương

Tài liệu về thặng dư toàn phương Định lý Một số là thặng dư bậc hai của mọi số nguyên tố không là ước của nó là một số chính phương. Vì mọi lũy thừa lẻ của 2 là một số không thặng dư của 3, chúng ta có thể giả sử rằng một số như vậy chứa một thừa số lẻ. Gọi \(N\) là một thặng dư bậc hai của mọi số nguyên tố không là ước của nó, và \(N = j^2 n\), trong đó \(n\) không chứa các thừa số chính phương. Khi đó \(n\) là một thặng dư bậc hai của cùng các số nguyên tố như \(N\). Đặt \(n = p_1 p_2 \dots p_r\) và hơn nữa, gọi \(a\) là một số không thặng dư bậc hai của \(p_1\) (\(p_1\) lẻ) và \(b_i\) là một thặng dư bậc hai của \(p_i\), \((i=2,\dots,r)\). Các đồng dư \(x \equiv 1 \pmod{4}\), \(x \equiv a \pmod{p_1}\), \(x \equiv b_i \pmod{p_i} \equiv 1 \pmod{8}\) nếu \(p_i = 2\), \((i = 2, \dots, r)\), khi đó luôn có một nghiệm \(s\), vì các mô-đun là nguyên tố cùng nhau. Có vô số giá trị số nguyên tố cho nghiệm tổng quát \(x = 4kn + s\). Chọn một số không là ước của ...
Đọc thêm

Các bài toán về dãy số nguyên

LaTeX in HTML Bổ đề quan trọng (Biểu thức cổ định của dãy tuyến tính cấp hai) Cho dãy số \( (a_n) \) xác định bởi \[ a_{n+2} = aa_{n+1} - a_n +b\quad \forall n \in \mathbb{N}. \] Khi đó, biểu thức \( a_{n+1}^2 - a_n a_{n+2}-ba_{n+1} \) luôn nhận giá trị không đổi. Chứng minh. Thật vậy, ta có biến đổi sau \[ \begin{align} x_{n+1}^2 - x_n x_{n+2} - b x_{n+1} &= x_{n+1}(x_{n+1} - b) - x_n(a x_{n+1} - x_n + b) \\ &= x_{n+1}(a x_n - x_{n-1}) - x_n(a x_{n+1} - x_n + b) \\ &= x_n^2 - x_{n-1} x_{n+1} - b x_n \end{align} \] Đẳng thức trên đúng với mọi \( n \geq 0 \) nên \[ x_{n+1}^2 - x_n x_{n+2} - b x_{n+1} = x_1^2 - x_0 x_2 - b x_1 = \text{const.} \] Bổ đề quan trọng (Về sự tuần hoàn của các số dư) Cho dãy số nguyên \(\{x_n\}\) xác định bởi công thức truy hồi \[ x_{n+k} = a_1 x_{n+k-1} + \ldots + a_k x_n \] và \(k\) số hạng đầu tiên nguyên. Kh...
Đọc thêm

Căn nguyên thủy và ứng dụng

Giới thiệu Chúng ta đã thấy rằng với bất kỳ số nguyên dương \( n \) và bất kỳ số nguyên \( a \) nguyên tố cùng nhau với \( n \), cấp modulo \( n \) của \( a \) là ước của \( \varphi(n) \) và đặc biệt nó không thể vượt quá \( \varphi(n) \). Trong phần này, chúng ta quan tâm đến việc đặc trưng hóa những số \( n \) mà đạt được giới hạn này, tức là những số \( n \) mà tồn tại \( a \) sao cho \( \gcd(a,n) = 1 \) và \( \text{ord}_n(a) = \varphi(n) \). Hãy đặt tên cho những số \( a \) như vậy. Định nghĩa Cho \( n \) là một số nguyên dương. Một số nguyên \( a \) được gọi là căn nguyên thủy modulo \( n \) nếu \(\gcd(a, n) = 1\) và \(\operatorname{ord}_n(a) = \varphi(n)\). Ví dụ \(1\) là căn nguyên thủy mod \(2\), \(2\) là căn nguyên thủy mod \(3\), \(3\) là căn nguyên thủy mod \(4\), \(2\) và \(3\) là căn nguyên thủy mod \(5\), \(5\) là căn nguyên thủy mod \(6\), ... Tính chất Tính chất 1 Nếu \( a \) là một căn nguyên thủy modulo \( n \) và nếu \( b \equiv a \pmod{n} \), thì \( b ...
Đọc thêm