Tài liệu Olympiad

Website tài liệu Olympiad

Sách số học

Sách số học của Titu bản mới

Sách số học của Titu bản cũ

Sách hình học của Titu

Sách tổ hợp của Trung Quốc

Sách tổ hợp của Phạm Minh Phương

Tài liệu thặng dư toàn phương

Các chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán - Trần Nam Dũng

Vành số nguyên Gauss và ứng dụng - Nguyễn Chu Gia Vượng

Số học của hệ sô nhị thức - Nguyễn Chu Gia Vượng

Cấp và căn nguyên thủy

Tài liệu chuyên toán hình học 10

Nhận xét

Đăng nhận xét

Bài đăng phổ biến từ blog này

Căn nguyên thủy và ứng dụng

Giới thiệu Chúng ta đã thấy rằng với bất kỳ số nguyên dương \( n \) và bất kỳ số nguyên \( a \) nguyên tố cùng nhau với \( n \), cấp modulo \( n \) của \( a \) là ước của \( \varphi(n) \) và đặc biệt nó không thể vượt quá \( \varphi(n) \). Trong phần này, chúng ta quan tâm đến việc đặc trưng hóa những số \( n \) mà đạt được giới hạn này, tức là những số \( n \) mà tồn tại \( a \) sao cho \( \gcd(a,n) = 1 \) và \( \text{ord}_n(a) = \varphi(n) \). Hãy đặt tên cho những số \( a \) như vậy. Định nghĩa Cho \( n \) là một số nguyên dương. Một số nguyên \( a \) được gọi là căn nguyên thủy modulo \( n \) nếu \(\gcd(a, n) = 1\) và \(\operatorname{ord}_n(a) = \varphi(n)\). Ví dụ \(1\) là căn nguyên thủy mod \(2\), \(2\) là căn nguyên thủy mod \(3\), \(3\) là căn nguyên thủy mod \(4\), \(2\) và \(3\) là căn nguyên thủy mod \(5\), \(5\) là căn nguyên thủy mod \(6\), ... Tính chất Tính chất 1 Nếu \( a \) là một căn nguyên thủy modulo \( n \) và nếu \( b \equiv a \pmod{n} \), thì \( b ...
Đọc thêm

Các bài toán về mô hình trực tâm

Hình ảnh
Bài toán Cho tam giác \( \triangle ABC \) nội tiếp đường tròn \( (O) \). \( M \) là trung điểm của \( BC \). \( H \) là trực tâm của tam giác \( ABC \). \(K\) là hình chiếu của \(H\) lên \(AM\). Gọi \( T \) là trực tâm của tam giác \( OBC \), và \( N \) là trung điểm của \( AH \). a) Chứng minh rằng đường tròn \( (MKT) \) tiếp xúc với đường thẳng \( MN \). b) Gọi \( X \) là giao điểm của \( BH \) và \( CT \), \( Y \) là giao điểm của \( CH \) và \( BT \). Gọi \( P, Q \) lần lượt là trung điểm của \( CX \) và \( BY \). Gọi \( R \) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác \( MKT \). Chứng minh rằng \( P, Q, R \) thẳng hàng. Chứng minh a) Gọi \( E, F \) lần lượt là chân đường cao hạ từ \( B, C \) của tam giác \( ABC \). Ta có: \( A, H, E, F, K \) cùng thuộc đường tròn đường kính \( AH \). Theo tính chất quen thuộc, ta có: \( MF \) tiếp xúc với đường tròn đường kính \( AH \) (có thể chứng minh bằng góc). Suy...
Đọc thêm

Các bài toán về dãy số nguyên

LaTeX in HTML Bổ đề quan trọng (Biểu thức cổ định của dãy tuyến tính cấp hai) Cho dãy số \( (a_n) \) xác định bởi \[ a_{n+2} = aa_{n+1} - a_n +b\quad \forall n \in \mathbb{N}. \] Khi đó, biểu thức \( a_{n+1}^2 - a_n a_{n+2}-ba_{n+1} \) luôn nhận giá trị không đổi. Chứng minh. Thật vậy, ta có biến đổi sau \[ \begin{align} x_{n+1}^2 - x_n x_{n+2} - b x_{n+1} &= x_{n+1}(x_{n+1} - b) - x_n(a x_{n+1} - x_n + b) \\ &= x_{n+1}(a x_n - x_{n-1}) - x_n(a x_{n+1} - x_n + b) \\ &= x_n^2 - x_{n-1} x_{n+1} - b x_n \end{align} \] Đẳng thức trên đúng với mọi \( n \geq 0 \) nên \[ x_{n+1}^2 - x_n x_{n+2} - b x_{n+1} = x_1^2 - x_0 x_2 - b x_1 = \text{const.} \] Bổ đề quan trọng (Về sự tuần hoàn của các số dư) Cho dãy số nguyên \(\{x_n\}\) xác định bởi công thức truy hồi \[ x_{n+k} = a_1 x_{n+k-1} + \ldots + a_k x_n \] và \(k\) số hạng đầu tiên nguyên. Kh...
Đọc thêm