Blog Toán chuyên THPT

Website tài liệu Olympiad Sách số học Sách số học của Titu bản mới Sách số học của Titu bản cũ Sách hình học của Titu Sách tổ hợp của Trung Quốc Sách tổ hợp của Phạm Minh Phương Tài liệu thặng dư toàn phương Các chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán - Trần Nam Dũng Vành số nguyên Gauss và ứng dụng - Nguyễn Chu Gia Vượng Số học của hệ sô nhị thức - Nguyễn Chu Gia Vượng Cấp và căn nguyên thủy Tài liệu chuyên toán hình học 10

Bài toán Cho tam giác nhọn \(ABC\) với đường tròn ngoại tiếp \((O)\). Một đường tròn \(\omega\) tiếp xúc trong với \((O)\) tại \(A\) và tiếp xúc với \(BC\) tại \(D\). Gọi \(AB\) và \(AC\) cắt \(\omega\) tại \(P\) và \(Q\) tương ứng. Gọi \(M\) và \(N\) là các điểm trên đường thẳng \(BC\) sao cho \(B\) là trung điểm của \(DM\) và \(C\) là trung điểm của \(DN\). Hai đường thẳng \(MP\) và \(NQ\) cắt nhau tại \(K\) và cắt \(\omega\) lần thứ hai tại \(I\) và \(J\). Tia \(KA\) cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác \(IJK\) lần thứ hai tại \(X \neq K\). a) Chứng minh rằng tứ giác \(MNIJ\) nội tiếp và \(AK\) đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(MNIJ\). b) Chứng minh rằng \(\angle BXP = \angle CXQ\). Bài toán Cho tam giác nhọn, không cân \(ABC\) có trực tâm \(H\). Gọi \(\ell_a\) là đường thẳng đi qua ảnh của \(B\) qua phép đối xứng qua \(CH\) và ảnh của \(C\) qua phép đối xứng qua \(BH\). Các đường thẳng \(\ell_b\) và \(\ell_c\) được định nghĩa tương tự. Giả sử ba đường...

Tài liệu về thặng dư toàn phương Định lý Một số là thặng dư bậc hai của mọi số nguyên tố không là ước của nó là một số chính phương. Vì mọi lũy thừa lẻ của 2 là một số không thặng dư của 3, chúng ta có thể giả sử rằng một số như vậy chứa một thừa số lẻ. Gọi \(N\) là một thặng dư bậc hai của mọi số nguyên tố không là ước của nó, và \(N = j^2 n\), trong đó \(n\) không chứa các thừa số chính phương. Khi đó \(n\) là một thặng dư bậc hai của cùng các số nguyên tố như \(N\). Đặt \(n = p_1 p_2 \dots p_r\) và hơn nữa, gọi \(a\) là một số không thặng dư bậc hai của \(p_1\) (\(p_1\) lẻ) và \(b_i\) là một thặng dư bậc hai của \(p_i\), \((i=2,\dots,r)\). Các đồng dư \(x \equiv 1 \pmod{4}\), \(x \equiv a \pmod{p_1}\), \(x \equiv b_i \pmod{p_i} \equiv 1 \pmod{8}\) nếu \(p_i = 2\), \((i = 2, \dots, r)\), khi đó luôn có một nghiệm \(s\), vì các mô-đun là nguyên tố cùng nhau. Có vô số giá trị số nguyên tố cho nghiệm tổng quát \(x = 4kn + s\). Chọn một số không là ước của ...

2002 All-Russian MO, Grade 9, Problem 5 There are eight rooks on a chessboard, no two attacking each other. Prove that some two of the pairwise distances between the rooks are equal. (The distance between two rooks is the distance between the centers of their cell.) China TST 2005

Bài toán Cho tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn \((O)\). Điểm \(E\) và \(F\) là hai điểm bất kỳ trên các cạnh \(CA\) và \(AB\). Đường trung trực của \(CE\) và \(BF\) lần lượt cắt \(OC\) và \(OB\) tại \(X\) và \(Y\). Đường thẳng \(EF\) cắt \(BC\) tại \(Z\). Chứng minh rằng \(X\), \(Y\), \(Z\) thẳng hàng.